“Giúp học sinh nâng cao khả năng dự đoán quỹ tích.”
Trường THCS Yên Thường
*****
Năm học 2008 - 2009
Chuyên đề
Cách giải bài toán quỹ tích
Lớp 7
Lớp 8
Lớp 9
Ví dụ khác
Cách giải bài toán quỹ tích
Bước 2: Chứng minh: ta phải chứng minh hai phần:
Ví dụ 1:
Tính chất tia phân giác của một góc (lớp 7):
“Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.”
Minh họa:
Bài 43 (SBT Toán 7 tập 2_trang 29):
“Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD?”
Minh họa:
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng:
“Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.”
Minh họa:
Bài 60 (SBT Toán 7 tập 2_trang 30):
“Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB.”
Minh họa:
Ví dụ 2:
Bài 68 (SGK Toán 8 tập 1_trang 102):
“Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm. Lấy điểm B bất kì thuộc đường thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào?”
Ví dụ 1:
Bài 70 (SGK Toán 8 tập 1_trang 102):
“Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kì thuộc tia Ox. Gọi C là trung điểm của AB. Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào?”
Ví dụ 2:
Bài 71 (SGK Toán 8 tập 1_trang 103):
“Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.
Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào?
Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất ?”
Minh họa:
Ví dụ 3:
Bài 129 (SBT Toán 8 tập 1_trang 74):
“Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?”
Ví dụ 4:
Bài 164 (SBT Toán 8 tập 1_trang 77):
“Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.
Tính khoảng cách từ I đến AB?
Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?”
Ví dụ 5:
Bài 44 (SGK Toán 9 tập 2_trang 86):
Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Điểm A thay đổi, nhưng nó chỉ di động trên đường nào? Vì sao?
Ví dụ 1:
Bài 45 (SGK Toán 9 tập 2_trang 86):
“Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đương chéo trong các hình thoi đó.”
Ví dụ 2:
Bài 48 (SGK Toán 9 tập 2_trang 87):
“Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.”
Ví dụ 3:
Bài 50 (SGK Toán 9 tập 2_trang 87):
“Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.
a) Chứng minh góc AIB có số đo không đổi ?
b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên ?
Ví dụ 4:
Bài 98 (SGK Toán 9 tập 2_trang 105):
“Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.”
Ví dụ 5:
Bài 37 (SBT Toán 9 tập 2_trang 79):
“Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn đó. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB.
Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho?”
Ví dụ 6:
“Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A, B cố định trên đường tròn đó. Gọi M là một điểm bất kì di động trên đường tròn, M’ là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMM’.
Tìm quỹ tích điểm M’ ?”
Ví dụ 1:
“Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn đó, vẽ hình vuông AMNP.
Tìm quỹ tích các điểm N khi M di động ?”
Ví dụ 2:
“Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O,R). Qua A kẻ tiếp tuyến Ax, trên Ax lấy một điểm B bất kì. Từ B kẻ tiếp tuyến BC với đường tròn (C là tiếp điểm). Tìm quỹ tích các trực tâm H của tam giác ABC ?”
Ví dụ 3:
“Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90o) nội tiếp đường tròn (O). Một điểm M tùy ý trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng:
a) Góc AMD bằng góc ABC.
b) Tam giác BMD cân.
c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy một cung tròn cố định và độ lớn của góc BDC không đổi.”
Ví dụ 4: